詹 斌，袁 野，杨世武，盛 涛
(1.武汉理工大学 交通与物流工程学院，湖北 武汉 430063；
2.湖北省综合交通运输研究会，湖北 武汉 430048)
城市轨道交通系统作为现代交通的代表，以其自身安全、节能、高效、快捷等优势成为当今世界大中城市解决城市道路拥堵、优化城市交通布局、增强交通运输能力的一大举措。随着城市对轨道交通的不断建设与完善，线路相互交错，站点加深链接，城市轨道交通逐步向网络化运营方向发展[1]。城市轨道交通系统的网络化、复杂性和开放性使得整个系统在面临外界破坏与内部故障时，节点和线路的故障可能在整个网络中形成传播，引起连锁反应，发生城市轨道交通网络的级联失效现象[2]。因此，构建城市轨道交通网络(urban rail transit network, URTN)级联失效模型，研究网络的网络特性和在安全风险下的鲁棒性特征，对保障轨道交通安全高效运营具有重要的现实意义。
国内外学者针对城市轨道交通网络的网络结构特性和级联失效鲁棒性正不断加深研究。ZHANG等[3]运用Space L法建立了北京、上海、广州3大城市的无权无向网络模型，对网络特性及面对随机攻击和蓄意攻击时的网络鲁棒性进行了对比。Latora等[4]构建了波士顿地铁网络模型，分析得出网络具有小世界特性。蔡鉴明等[5]构建了长沙的URTN模型，并通过选取4项鲁棒性指标，分析了长沙市在收到攻击后的级联失效情况。赵瑞琳等[6]对全国10座典型城市进行了轨道交通网络构建，完成了URTN鲁棒性横向对比研究。杨景峰等[7]选取上海为研究对象，构建了无权网络下的城市轨道交通级联失效模型，研究表明级联失效情况下考虑负载分配的URTN受到攻击时更具脆弱性。通过查阅既有研究了解到，学者们针对轨道交通网络特性和鲁棒性的研究中大多选择建立无权无向网络模型，忽略网络连边权重，无法表示节点间连边的唯一性，没有考虑站点间实际距离、线路重合等因素对网络特性及级联失效模型的影响。因此，提出将城市轨道交通线路实际距离值及站点间线路数量作为确定网络拓扑模型权值的参考，构建城市轨道交通加权网络拓扑模型，运用复杂网络理论及结构特性指标，分析加权网络下的网络结构特性及级联失效鲁棒性。
URTN的构建需确定节点与边的选取对象，将轨道交通车站以及站点间的线路作为节点和连边的映射是研究者的主流选择[8]。目前，URTN模型构建主要采用Space-L和Space-P两种方法。Space-L法表现结果为交通网络的实际空间结构，更适合于研究交通网络的拓扑特性以及鲁棒性；
Space-P法更侧重于研究交通流量特征[9]。笔者选用Space-L方法构建网络模型较为贴合实际空间结构。
相似权和相异权是当前表示加权网络权重的最主要方法[10]。相似权与节点紧密程度呈正相关，较大的相似权反映较强的紧密关系，相异权则反之。根据复杂网络特征指标的表示方法以及URTN的特性，建模使用相似权作为权重。
因城市轨道交通列车的速度受到总控台控制且保持相对恒定，在有多条线路可供选择且通行过站数目大致相同时，乘客的主观能动性使得其在通行目标驱使下，若有多条线路可供选择且通行过站数目大致相同时，将会优先选择实际距离最短的线路。确定边权时应考虑线路实际距离，同时把握2个站点之间多条线路通过的情况。故给出以下定义：
(1)定义1：网络中边权wij为节点i和j之间连边对应城市轨道线路实际长度的倒数。
(2)定义2：若两个站点之间有多条线路通过，则网络中两站点代表节点间的边权为每条连线对应轨道线路实际长度倒数的和。
(3)定义3：整个网络中的节点各自独立，节点的点权为与该节点相连边的边权之和。
根据以上定义，将URTN抽象为一个数学集合G=(V,E)，其中V表示网络中n个节点的集合，E表示网络中m条边的集合，G具有无向性。基于Space L法，根据网络节点间的边权，构建基于权重连接的邻接矩阵W，如式(1)所示。通过Pajak软件与Matlab软件完成加权URTN模型构建并进行网络特性仿真计算。
(1)
2.1 网络特征指标
针对加权网络的网络特征指标，主要包括点权、点权分布、加权平均路径长度[11]、聚集系数等多个指标，主要的指标内容及公式如表1所示。
表1 加权复杂网络主要特征指标
2.2 鲁棒性评价指标
URTN的鲁棒性可以理解为，在轨道交通站点和线路受到随机攻击(偶然事故导致的交通故障，如设备故障、停电等)和蓄意攻击(重大自然灾害、恐怖袭击、战争等)后，能维持交通线路基本运营的能力[12]。网络级联失效鲁棒性是指站点遭受突发事件发生级联失效现象时仍能保持网络正常运行的能力。加权网络的鲁棒性评价指标主要包括加权网络效率和最大联通子图，其含义及公式如表2所示。
由于URTN站点间存在关联性，一个或少数站点由于突发事件发生故障将会影响网络整体的关联性变化，导致与故障站点关联性较强的站点受到影响，严重的将会进一步发生故障，而新的故障站点会引起新一轮的级联效应[13]。目前的级联失效模型主要有二值影响模型、沙堆模型、CASCADE模型、负载-容量模型[14]等，由于URTN具有流量特征以及乘客容量限制，运用负载-容量模型对URTN进行级联失效研究更为合理[15]。在负载-容量模型下，每个节点遵循初始负载加载方法，具备初始负载，同时将被预设一个负载上限。当节点收到攻击后，其负载通过制定的负载重分配方式进再分配，循环负载分配过程，直至不再有节点过载。
表2 网路鲁棒性评价指标
3.1 初始站点负载及容量
在URTN中客流是时刻变化的，对于固定时间节点的客流量负载无法准确预测及判断。学者们引入“结构负载”，用节点度等网络特征指标来定义节点的负载，以此表现网络节点负载受网络拓扑结构的影响。针对加权轨道交通网络，定义级联失效模型中初始节点负载Li(0)为：
(2)
式中：si为节点i的点权；
τ为控制节点初始负载的参数。
设定URTN中的站点均有承担负载的能力，基于负载-容量模型，站点的乘客集散能力可用拓扑网络中的节点容量表征，站点的容量由节点的初始负载及容忍系数来表示，且呈正相关。节点容量公式为：
Ci=(1+β)Li(0)
(3)
式中：Ci为站点i的最大容量；
Li(0)为节点i的初始负载；
β为站点的容忍系数，是站点对超出初始客流负载的处理能力，β>0。
3.2 负载重分配模型和级联失效传播过程
3.2.1 负载重分配模型
URTN节点由于突发事件发生故障后，若客流负载累计超过站点的容量，则节点状态变为失效，根据择优分配策略将故障节点的负载进行再分配，负载重分配的公式为：
(4)
式中：ΔLj为节点i故障后，分配至节点j的负载；
Li(t)为在时刻t时节点i的负载；
Lj(t)为在时刻t时节点j的负载；
Φi为节点i所有相邻点的集合；
Pj(t)为在时刻t时节点j的剩余负载(j∈Φi)；
Cj为节点j的容量。
考虑故障节点邻接节点的剩余负载是择优分配策略的核心内容，能够表现现实交通网络中站点间的冗余客流相互影响的情况。
3.2.2 级联失效传播过程
根据选择的负载重分配模型可得在URTN中，在时刻t节点i发生故障后，下一时刻其相邻节点j的实时负载量为自身负载与节点i分配流量之和，即：
Lj(t+1)=Lj(t)+ΔLj
(5)
式中：Lj(t+1)为时刻t+1的实时负载。
在节点故障失效后，故障节点的负载完成负载分配，造成相邻节点的负载进行变化，需重新判断网络节点状态，提出如下判断方法：
(6)
式中：“1”表示节点为失效状态；
“0”表示节点状态正常；
极限系数γ表示站点对客流负载的极限能力；
γCj表示节点j的极限容量，γ≥1。若Lj(t+1)>γCj，则节点j故障失效，进行下一轮的负载分配，直至所有节点负载均在容量限制之内；
若Lj(t+1)≤γCj，则级联失效过程结束，不再进行负载分配。
3.3 级联失效算法及仿真流程
基于上述的URTN级联失效模型，设计出具体的级联失效算法，具体流程如图1所示。
图1 级联失效仿真流程图
(1)建立城市轨道交通网络，轨道交通站点映射为网络节点，站点间线路映射为网络节点连边，同时基于现实情况确定网络连边的边权，构建出无向有权网络。
(2)初始化网络节点状态，设置网络容忍系数β，计算得到节点的点权，确定各个节点的初始负载Li(0)以及节点容量Ci。
(3)选取网络故障方式(随机攻击或蓄意攻击)，将选取网络节点及其连边进行删除，更新网络整体状态。
(4)根据择优分配策略，将故障失效节点的负载分配至其相邻节点，更新网络节点负载情况。
(5)判断网络节点状态，比较失效节点相邻节点Φi的负载是否超过其节点容量。若超过，则判定节点失效，跳转至步骤(4)，进行新一轮的负载分配；
若未超过，则完成级联失效过程，继续步骤(6)。
(6)本轮级联失效过程结束，计算加权网络效率E和最大联通子图比例S。
(7)判断攻击是否结束，若继续则跳转至步骤(3)；
若结束，则完成级联失效仿真，评判网络损毁情况。
武汉市是我国中西部地区首批建立城市轨道交通的城市，截止2022年1月，共开通11条城市轨道交通线路，运营总里程已超过435 km，车站总数达到282座，其中包括可换乘站点32座，武汉市城市轨道路网如图2所示。
图2 武汉市轨道交通路网及站点
根据之前的定义，在Space L法的基础上构建武汉加权URTN模型，并作以下说明：
(1)武汉市轨道交通的相关数据来源(线路编号、站点间距、车站数目等)截止2021年12月31日，共11条线，247个站点(换乘站仅统计一次)，以1～247对站点进行编号，如表3所示。
表3 武汉市轨道交通站点编号
(2)因轨道交通线路为双向发车，不考虑网络线路的方向性，相邻站点如果有多条线路通过，仅表示为一条连边。
(3)运用Gaphi软件画出武汉 URTN拓扑图，如图3所示，并运用Pajak与MATLAB软件进行网络结构特性指标计算，以及鲁棒性编程仿真。
图3 武汉市轨道交通网络拓扑图
4.1 武汉市URTN特性分析
使用武汉市加权URTN模型可以得到一张节点数为247、连边数为270，复杂节点数为32的网络，计算可得有无加权情况下网络特征指标结果，如表4所示。
4.1.1 加权网络特征指标分析
由表4可知，加权网络中网络的平均点权为1.59，最大点权为4.580，最小为0.164，点权大于3的节点站全部节点的7.6%，点权为2以下的节点占78.1%，说明整个网络中对网络重要性较高的节点仅占少数；
加权平均最短距离为11.9，网络直径即最大最短路径为36，节点间的最短路径有46.7%处于10以下，说明整个网络中节点的连接紧密性不高；
整个加权网络的聚类系数仅为0.016，网络效率也仅为0.135，说明网络整体的紧密程度和连通效率不高。
表4 武汉轨道交通网络特征指标对比
武汉市URTN经过加权后，平均点权减少了0.58，说明网络单个节点对于整个网络的重要性在实际距离的影响下有所减少；
网络直径下降了9，图密度上涨0.002，说明在加权情况下，网络整体更加紧密；
平均最短路径下降了4.2，聚类系数增长2.67倍，网络效率也提升40.6%，表明进行加权之后，网络节点间的关联程度有所提高，节点间的紧密程度提升。
4.1.2 网络界定
无标度网络的特点在于网络中仅有少数节点可以与众多节点相连，而剩余节点大都连接程度较低，界定方法为判断累计度分布是否符合幂律分布。对武汉市URTN进行加权网络下的累计点权分布以及无权网络下的累计度分布进行拟合，结果如图4所示。累计度分布概率双对数坐标下具有幂律特性，拟合函数为P(k)=3.306 9k-2.599 0，R2=0.598 6，幂律指数位于[2.1,4]，说明无权网络具备无标度网络特性；
累计点权分布概率拟合效果较差，R2<0.5，说明武汉市加权网络在确定无标度性质时应排除使用点权分布，否则将脱离实际，应同无权网络一样使用度分布。
图4 武汉市URTN度分布图
小世界网络的“小世界”可以简单解释为规模大的网络的平均最短路径却很小，网络中节点可以通过几步跳跃抵达其他绝大多数节点，通过拥有一定数量的高节点度的节点，使得整个网络拥有平均最短路径小、聚类系数大的性质。小世界网络须符合以下条件：
(7)
(8)
结合式(7)和式(8)可得与武汉市URTN同规模随机网络中的特性指标，结果如表5所示。可知武汉市轨道交通加权、无权网络的平均路径长度都超过了同等规格的随机网络，而无权网络的聚类系数则低于随机网络。说明武汉市无权URTN虽然不符合小世界的网络特征，但在加权影响下,整个网络在L空间下符合了小世界网络界定要求。
表5 同规模随机网络特征指标
4.2 武汉市URTN鲁棒性分析
4.2.1 攻击策略
主要通过随机清除节点和根据节点点权、介数中心性大小顺序清除节点3种攻击方式进行鲁棒性模拟试验，进行攻击环境下加权网络效率以及网络最大联通子图的变动状况解析，对比分析有无发生级联失效下的网络受损情况。整个攻击仿真通过MATLAB软件实现，为确保仿真实验的科学性，降低误差，对节点的攻击实验将重复50次，网络整体网络效率和最大联通子图比例的下降情况取50次实验结果的平均值。其中，级联失效模型中初始容忍系数β设置为0.15，极限系数γ设置为1.1。
4.2.2 仿真结果分析
武汉轨道交通加权网络在不同攻击方式下网络效率变化情况如图5所示。从仿真结果得知，非级联失效的3种攻击方式导致加权网络效率的下降速率均比级联失效缓慢，表明城市轨道交通遇到风险故障时，一旦站点出现客流过载并发生级联失效，将对整个交通网络造成更为严重的损害。其中，级联失效随机攻击下网络效率下降速率较为缓慢，略大于非级联失效随机攻击环境，表明在随机攻击过程中出现节点过载以致负载重新分配，但整体情况说明轨道交通网络抗小规模随机风险的能力较强，不会轻易发生严重影响整体的运行效率的故障，不过当攻击节点数达到30，网络效率下降为初始网络的35.3%，说明若发生大规模随机故障仍会造成较大危害。此外，无论是否发生级联失效，在介数中心性攻击下网络效率都将随着攻击次数的增加而大幅下降，在攻击节点数达到15时，级联失效与非级联失效介数攻击下的网络效率分别下降83.7%、79.9%，说明介数中心性高的节点在网络中的重要程度高，是维持网络正常运行的关键节点，当其受到攻击时会对整个网络的运行效率造成较大损害。最后，在级联失效点权攻击环境下，当对点权大小前5的节点进行攻击后，网络效率仅为最初网络的16.9%，而非级联失效环境下却为63.9%，说明针对点权重要度最高的节点进行攻击，将会引发多轮负载重新分配，出现“雪崩效应”，网络的联通效率将断崖式下降，当级联失效点权攻击节点数达到8，网络效率下降至最初的0.38%，网络彻底瘫痪。
图5 不同攻击下网络效率变化情况
武汉轨道交通加权网络在不同攻击方式下最大联通子图比例变化情况如图6所示。由图6可知，在级联失效点权、介数、随机攻击环境下，当攻击节点数为5时，网络最大联通子图比例分别下降至22.8%、49.8%、93.1%。从整体看，除开介数攻击，在对网络进行攻击的过程中，一旦出现节点故障失效并发生级联失效，网络的最大联通子图比例将更大程度地下降，说明级联失效攻击环境下，随着对节点攻击数目的增加，网络中将出现更多的独立节点与区域，使得联通子图规模更小。级联失效介数攻击情况下最大联通子图变化不大，可以解释为该网络介数中心性较强节点的邻接节点点权均较高，即节点容量大。介数中心性强的节点发生失效后，其周边节点均能吸收重新分配的负载，不易发生级联失效。
图6 不同攻击方式下最大连通子图变化情况
通过调整级联失效模型的容忍系数与极限系数进一步进行鲁棒性分析，结果如图7所示。随着容忍系数β与极限系数γ的增长，在级联失效点权攻击下，网络的最大连通子图比例的下降均减缓，说明站点的最大容量与极限承载量越大，网络整体发生级联失效程度越低，网络鲁棒性将有效提升。因此，针对城市轨道交通站点的新建、改造过程中，在满足日常运行的情况下，需要预留一定的站点容量以防突发情况，有效降低站点失效引起的级联失效损害，增强网络整体的抗毁能力，为整个交通网络的安全运营提供有效保障。
图7 调整容忍系数与极限系数下的仿真结果
由以上仿真结果可知，武汉轨道交通加权网络在面对随机攻击时有着一定的鲁棒性，在面对蓄意攻击时具有较强的脆弱性。在考虑级联失效的网络攻击下，网络整体的抗毁能力降低，表现出更强的脆弱性，表明一旦站点遭受风险，出现客流过载并发生级联失效，整个交通网络将遭受严重的损害。同时，应对级联失效的风险方法在于提高站点的容量以及极限承载量，对网络整体运营提供保障。
基于复杂网络理论，将城市轨道交通线路实际距离值以及站点间线路数量的干扰作为确定网络拓扑模型权值的参考，采用Space L法构建了城市轨道交通加权网络拓扑模型，并结合加权网络特征指标提出了改良后的级联失效模型，以武汉市轨道交通为例分析了加权网络的拓扑特性与级联失效鲁棒性，得出以下结论：
(1)城市轨道交通网络引用基于现实因素的相似权后，网络拓扑结构特性发生改变，具体表现为网络直径与平均最短路径减少，网络效率、图密度和聚类系数提升，表明网络整体的紧密性提高、节点间的联通程度加强。此外加权网络相比无权网络，同时具备小世界网络特性与无标度网络特性，更能体现实际交通网络情况。
(2)武汉市轨道交通加权网络在面对随机攻击时表现出一定的鲁棒性，面对多组蓄意攻击时鲁棒性较差，若考虑级联失效情况将表现出更强的脆弱性，在日常运营中应着重保护节点重要度较高的站点。
(3)为应对轨道交通级联失效情况，针对城市轨道交通站点的新建、改造过程中，应在满足轨日常运行的情况下，预留出一定的站点容量以防突发情况，增强网络整体的抗毁能力，为整个交通网络的安全运营提供有效保障。
(4)提出的基于现实因素的城市轨道交通加权网络构建方法及级联失效模型，具有一定的理论意义与应用价值，后续可考虑加入客流量因素进一步进行网络特性研究。
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