李强 朱永灿
【摘 要】 培养学生数学核心素养的主阵地在课堂，对数学性质、定理、法则、公式等规则内容的教学，成为其重要载体.由此，对规则课进行有效设计，并构建适切性的教学设计策略显得尤为必要.本文从梳理、理解规则内容入手，结合规则内容与核心素养指向，以规则内容的系统化问题提出情境创设和研究过程中任务活动设计2个方面为主要对象进行教学设计的研究，并提出基于理解的、指向数学核心素养的相应教学策略.
【关键词】 核心素养；
规则课；
课堂教学
素养是可学、可教和可测的，即可经由后天学习获得的.同时数学核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念，它综合体现出对数学知识的理解、对数学技能方法的掌握、对数学思想的感悟以及对数学活动经验的积累.基于此，我们认为：数学学科教学活动是数学核心素养培养的主要途径.数学核心素养是在数学学习过程中逐步形成的，而学生数学学习的主要途径是教师引导下的教学活动，尤其是数学课堂教学活动.数学知识内容的教学是数学核心素养培养的主要载体.数学学习就是数学知识内容的学习，数学知识内容主要是以概念、性质、定理、公式、法则等形式呈现，所以数学核心素养的培养，就是要通过平时的数学知识内容的有效教学来实现.根据数学知识内容的不同特点有效设计知识的学习过程是数学核心素养培养的落脚点.
1 规则内容的梳理与呈现特点
1.1 规则内容的梳理
数学知识中性质、定理、公式、法则等从教育心理学出发可以分类为规则，实施这些内容的教学可以称之为规则课教学，所以规则内容的研究，是进一步对“教什么”的深度理解.我们需要探寻规则知识（性质、定理、法则、公式等）发生、发展规律和特点，从而优化规则课教学设计策略，努力建构起与数学规则课教学相匹配的数学核心素养培养指向.
分领域对初中教材中的主要规则内容进行了梳理，具体见下两表格.
1.2 规则内容的呈现特点
对于教材中规则内容的呈现，我们通过比较分析，发现存在一些特点：
（1）数与代数领域内中不论法则、公式还是性质，教材都先给出一些具体实例，然后通过观察、分析、归纳、概括出相应的结论，最后进行应用；
同时在规则内容的引入、规则内容的概括归纳过程相对进行了留白.这样的呈现特点突显了代数教归纳的设计意图与教学要求.
（2）图形与几何领域中性质定理内容的呈现都遵循着几何教学的一般方法与规律，即呈现“操作—猜想—验证—证明—应用”的过程，体现了合情推理和演绎推理相结合的特点，同时注重同一研究方法在不同几何图形教学中的应用，即“一般观念”的体现.而对于少许的公式教学，主要是强调公式推导和应用，突出逻辑推理.这样的呈现特点突显了几何教类比的设计意图和教学要求.
（3）所有规则内容的安排都是在明确研究对象之后呈现的，所以它的提出更能体现知识的整体性和联系性，更能反映代数或几何研究的路径和一般方法，更能体现研究的“一般观念”.
2 规则内容的素养指向
虽然核心素养之间是一个有机整体，但我们认为不同规则内容的教学可以侧重指向主要的数学核心素养.
（1）通过数与代数领域内的法则、性质、公式的良好教学，可以让学生经历规则的概括抽象过程；
可以让学生明白规则知识的来龙去脉和弄清与其他知识间的联系；
可以让学生更好地明白算理和熟练地应用规则.所以这些规则的良好教学能发展学生的抽象能力、运算能力、建模觀念数据观念等核心素养，尤其是抽象能力和运算能力核心素养.
（2）通过图形与几何领域内的性质、定理和公式的良好教学，可以帮助学生更好地掌握几何研究的一般方法，掌握命题分析和证明的一般思路与步骤；
可以帮助学生更好地建立起图形、符号与文字之间的联系，可以建立起图形的几何结构与结论的代数表达之间的联系.所以这些规则的良好教学能发展学生的几何直观、空间观念、推理能力和建模观念等核心素养，尤其是推理能力和几何直观等核心素养.
3 规则课教学设计的策略研究
从规则内容的系统化问题提出情境创设和过程研究中活动任务设计2个视角展开.
3.1 系统化问题提出情境创设策略研究
3.1.1 从代数研究的路径方法视角，创设有效的问题提出情境
设计情境不是戴“帽子”.代数规则内容教学时应强调多从数学知识的内部联系或遵循应有的研究“套路”出发创设情境，这样更能体现逻辑性和整体性，更有数学味.
案例1 七上 2.1 有理数的加法研究对象获得设计
为了让学生思考更自然，突出对数的研究的方法性和数的教学的一般性，我们创设了如下的情境：
前一章我们已经学习有理数相关概念及其分类，那么请同学们思考以下问题：
（1）小学里学过整数或分数以后，接下学习的是什么知识？由此你觉得学习数学主要是要学习什么？（运算）
（2）我们已经学习了有理数，那么你觉得接下去我们应该去研究有理数的什么内容？（有理数的运算）
（3）有理数的运算我们从最基本的加法开始，这里面你有熟悉或已经学过的知识吗？（小学学过的数的加法就是两个正有理数相加）
（4）为了研究的方便你会如何分类来研究？
从学习数学主要是要学习数的运算这一根本性的认识出发，回顾学生已有的数的加法运算就是两个正有理数的加法运算，自然思考研究有理数加法先需要分类，即分为正+正，正+负，正+0，负+负，负+正，负+0.这样从数学知识内部联系创设的情境更有数学味，显得更自然，更能激发学生的思考和求知欲.
案例2 5.2 等式的基本性质研究对象获得设计
如何认识等式的基本性质？如何体现数、式与等式（方程）研究方法的一致性？我们创设如下情境：
（1）前面我们已经学习了有理数和代数式，请大家回忆一下有理数和代数式的学习路径是怎样的？（数或式的概念→性质（大小关系）→运算→应用）
（2）由研究整式的相等关系我们自然获得了研究对象：等式（方程），由不等关系自然获得了另一研究对象：不等式.那么方程（等式）的学习路径应该是怎样的呢？
（3）你觉得等式的性质指的是什么？（等式运算的不变性和规律性）我们容易知道等式具有自反性（a =b→b = a）和传递性（a = b，b = c→a = c），那么研究等式的性质就是要研究等式（a = b）在加减乘除乘方开方运算中保持的不变性或规律性.
在此情境中类比数与式的研究路径自然提出等式的研究路径，同时在指出性质的本质时明确了研究等式性质的路径；
而且也整体呈现了数、式、方程和不等式之间的内在联系和相似研究路径，系统建构了知识间的内在联系.
3.1.2 从几何研究的路径出发，创设有效的问题提出情境
依据几何知识的内在联系，或者合理运用“先行组织者”进行类比来创设有效的问题情境，是获得几何规则（定理与性质）研究对象的具体方法，这样的情境更具“几何味”.
案例3 八上 1.5全等三角形④角平分线性质定理研究对象获得设计
角平分线性质定理作为一个例题的结论提出显然缺乏整体性，我们创设如下情境：
我们已经学习了线、角、相交线、平行线、三角形等几何图形，在获得几何图形（概念、表示）之后，我们需要研究几何图形的性质，那么：
（1）什么是几何图形的性质？（几何图形在位置、大小、形状上的不变性和规律性）
（2）角平分线的性质指的是什么？（结构上形成的角的大小关系；
角平分线上的点具有的不变性）
（3）角是由两条射线组成的，所以图形结构是3条射线，所以就是要研究角平分线上的点和角的两边上的点之间的线段长（距离）之间的大小关系，请你画画图形，你得出了什么结论？
从已有的几何图形研究经验和一般观念出发，通过类比和联系，可以获得角平分线性质的研究路径和具体内容，然后进行具体研究，这样的“套路”是对数学思想和方法的深度渗透，是真正落实用数学的方式育人.
案例4 八上2.7探索勾股定理研究對象获得设计
（1）直角三角形具有哪些性质？请从边，角，特殊线段分别描述.
（2）已经学过的直角三角形判定方法有哪些？已有的判定与性质是什么关系？（互逆定理）
（3）那么从边考虑勾股定理是否也存在逆定理呢？请你试着写出勾股定理的逆命题，并画出图形写出条件和结论.
几何中性质和判定是两个互逆的命题，是从正反两个方面对几何图形的研究，本来具有一贯性.同时到这节课时应系统呈现对直角三角形判定的研究思路，所以这样的设计不仅自然导入对勾股定理逆命题的探讨，从而获得研究对象，而且也培养了学生系统思维的方法.
总之，代数与几何规则内容的情境教学设计，均强调从代数或几何研究的相应路径出发，突出数学的内部联系，让学习问题的提出自然而富有知识的逻辑性（即知识的产生更自然而富有逻辑），从而使得问题的研究更有系统性和数学味.
3.2 研究过程中任务活动设计策略研究
3.2.1 以问题串为引领，凸显观察、分析、归纳、概括等数学思维活动
教学过程中教师最大的作用是引导启发，而推动引导启发必须依靠任务问题，所以问题串的设计是促进学生深刻理解数学知识的关键手段，是促进学生观察、分析、概括、抽象等数学思维活动有效发生的载体.促进数学规则内容的真正理解，才能真正发展运算能力等核心素养.
案例5 七上5.2等式的基本性质探究过程设计
从运算的角度和几种运算之间的关系思考：
（1）思考加法运算，对于等式a = b，那么a = b +1成立吗？a +1= b +1呢？a +1= b + 2呢？a + 2= b + 2呢？a + c = b + c呢？由此你得到了什么发现或结论？请你用文字语言表达你的发现吗？用数学符号怎么表示？
（2）减法是加法的逆运算，根据加法运算，你会得到怎样的结论？你能概括加法和减法运算的结论吗？
（3）乘法是特殊的加法运算，你能在加法运算的基础上进行推导吗？
（a = b，a + a =b + a = b + b，2a = 2b；
2a + a = 2b + a = 2b + b，3a = 3b，---，） 你能用文字语言或数学符号表达你的发现吗？
（4）除法运算怎么研究？请概括乘法和除法运算的结论．
（5）加减乘除是基础运算，那么对于等式a = b，如何进行乘方和开方（开平方）运算，你能提出怎样的结论？
从运算的角度去理解等式的基本性质是对其本质的正确认识.从数到字母到规律地探索，通过代数推理，学生推理能力和抽象能力等核心素养得到了培养.
3.2.2 以任务串为核心，实现独学、合学与展学的有机结合
教学中，要坚持学生的独立思考和小组合作学习相结合，通过生生合作、师生合作交流碰撞，让学生有机会认真想、大胆说、充分讨论，以达到对数学知识的深度理解.
案例6 八上5.4一次函数性质探究设计
对于性质的归纳可以设计如下活动：
（1）请以同桌同学为一小组，任意选取一对k、b的取值，然后画出一次函数y = kx + b的图象.
（2）选定自变量x的具体取值x1、x2，请你计算对应的函数值y1、y2的大小；
同时观察对应的点（x1 ，y1），（x2 ，y2）在图象的位置，思考函数值的大小与自变量大小的对应关系？你觉得这样的大小对应关系与哪个量有关？
（3）请你与前后小组同学的具体一次函数对照，她们是否具有你们观察到的性质？如果一样，你觉得原因在哪里？如果不一样，你觉得是什么原因造成的？
（4）以大组为单位，展示你们的发现.请归纳函数的增减性与系数k的关系并用文字语言描述.
上述教学设计以小组举例画图象具体展开，到大组展示，学生观察到的图象具体而丰富，为学生归纳一次函数的增减性提供了丰富的素材.同时通过问题引领，从小组画图的自我认识到大组本质问题的分析，从代数的计算认识到图象的直观感知，让增减性的分析得出、抽象概括显得规律自然，让学生对增减性的理解更加深刻，学生的核心素养得到了有效提升.
3.2.3 以逻辑链为核心，呈现“操作-猜想-验证-证明”的几何研究过程
呈现几何定理性质的研究过程，不仅能帮助学生厘清定理性质的来龙去脉，识别图形的结构特征，提高图形的直观想象能力，进一步能理解定理性质的本质内容，提升学生的合情推理和逻辑推理能力，增强分析问题和解决问题的能力.
案例7 九上3.5圆周角定理的探索过程设计
（1）我们已经知道什么是圆周角，那接下去应该研究圆周角的什么内容呢（性质）？性质就是大小关系，就是角的度数，那么圆周角的大小可能与哪个量有关？
（2）给出如图6图形，请你画出所对的圆周角.
（3）思考：你画出的圆周角在位置上与你的同学有无区别？区别在哪？不同位置下画出的圆周角的度数是否相同？你是如何判断的？相同位置下画出的圆周角度是否相同？你觉得原因是什么？
（4）根据刚才的讨论，那么弧的度数与所对圆周角的度数在数量上可能有何关系？你会如何判断？既然弧的度数不可测量，那么你会转化为哪个可测量（圆心角）？
（5）同弧所对的圆心角和圆周角有何数量关系？你如何判断？再请你结合老师给出的几何画板，请你演示验证.你能验证在不同位置下的圆周角是否也有这个结论吗？
（6）如何证明这个结论呢？根据讨论，同弧所对的圆周角有3种不同的位置情况，你觉得这3种情况都要证明吗？从哪种开始比较好？为什么？
（7）先请同学试着寻找思路.启发：观察圆心角和圆周角的位置特征，它们之间的内在关联处在哪里？最后我们一起来交流并完成证明.
从圆周角度数的决定因素（弧）出发，通过学生尝试自己画图（体现几何直观），比较不同位置下的圆周角，经过测量把无限问题转化为有限的3个不同位置的问题；
同时通过把不可测量转化为可测量，研究对象转化为同弧所对的圆周角与圆心角之间的大小关系.最后经过测量、猜想结论、证明结论完成对圆周角结论的探索.这样的设计线索清晰、问题提出与转化自然、思想方法渗透自然，学生思维得到有效训练与提升.
3.2.4 以多元表征为切口，揭示几何图形结构与代数结论联系
数学多元表征，就是将同一数学学习对象用叙述性（言语化表征）和描绘性（视觉化表征）两种本质不同的多形式表征.几何定理性质的教学，要突出强调用文字语言、符号语言和图形语言3种不同的方式对定理性质的表达就是对性质定理的多元表征，而其中的符号语言和图形语言就是用“数”和“形”两个不同的角度对定理性质的视觉化表征.教学过程中，要强调用“数”和“形”来揭示条件和结论之间的内在联系，来揭示基本图形结构和变式结构与代数结论之间的对应联系.只有如此才能在复杂的图形中分解出蕴含定理性质的基本图形结构，从而找到所需要的代数结论.
案例8 定理性质的多元表征举例
案例9 圖形结构与代数结论联系揭示与应用举例
如图8，已知△ABC中，AB＝AC=2，锐角∠BAC＝，AD⊥BC于点D．在AD上取一点E，
使得AE＝BC，连结CE并延长交AB于点F．设AF＝x，tan∠BAD＝y，则y关于x的关系式为 ．
把复杂的图形结构通过问题分析逐步分离为基本图形结构从而运用其中的代数结论进行转化，这样的前提是要对定理性质的多元表征策略教学到位.
4 结语
总之，数与代数和图形与几何领域内规则内容的探究过程应该是也必须是一个让学生真正经历知识形成的过程.数学规则内容的教学设计，要在问题导向或任务驱动下以不同的学习路径表现为线索，遵循问题研究的“一般观念”，凸显知识的整体性和联系性，让学生真正经历观察、操作、分析、归纳、类比、推理、抽象等数学思维活动，厘清规则的来龙去脉，理解其本质，从而获得相应的学科核心素养.
参考文献：
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